Ch 11 ODE

UTG

CPE 332

Computer Engineering

Mathematics II

Part III,

Chapter 12 ODE

Today Topics

Chapter 12 Ordinary Differential Equation

HW 10 Due Today

HW 11 Due Wed 4 May, 12.00 Noon

ส่งห้องเลขาภาค

Course Ends This Week

No Chapter 13(Curve Fitting)

Differential Equation

• เป็นสมการทางคณิตศาสตร์ ที่ประกอบด ้วย

Derivative (หรือ Integral)

– Solution ของสมการคือ Function ที่ไม่มี Derivative หรือ Integral ปรากฏอยู่

• รูปแบบทั่วไปคือ (First Order)

– dy/dx = f(x,y)

– กรณีพิเศษที่ dy/dx = f(x) เราสามารถแก ้สมการโดย

ใช ้การ Integrate

• dy = f(x)dx

• y = ∫ f(x)dx = F(x) + C : ค่า C สามารถหาได ้โดยการกําหนด

Initial condition

– ปกติการแก ้สมการทั่วไปไม่สามารถใช ้ Integrate ได ้

Example 1

• Solve for dy = 3 2 x; x = ,2 y = 4

dx

Example 1

• Solve for dy = 3 2 x; x = ,2 y = 4

dx

dy = 3 2

x dx

y = 3 2

x dx

3

y = x + C (

General So

lution)

Example 1

• Solve for dy = 3 2 x; x = ,2 y = 4

dx

dy = 3 2

x dx

y = 3 2

x dx

3

y = x + C (

General So

lution)

x = 2, y = 4

4 = 23 + C

C = 4

3

y = x − 4

Differential Equation

• ค่า Order สูงสุดของ Derivative จะ

กําหนด Order ของ Differential

Equation

– จํานวน Initial Condition ที่จะต ้องใช ้จะ

เท่ากับค่าของ Order ของสมการ

Example 2

d

F ( x, y) : 3

xy + 2

2

y + x = 4

Fin

d f ( x, y) =

F ( x, y)

dx

d

d

3

xy + 2

2

y + x =

4

dx

dx

d

dx

dy

dx

[

3

3

x

y + y

] + 2

+ 2 x

= 0

dx

dx

dx

dx

dy

dy

3

[

2

3

xy

+ y ]+ 2

+ 2 x = 0

dx

dx

dy

dy

3

2

xy

+ 2

= 2

3

x y

dx

dx

dy 3

[

2

xy + 2] = 2

3

x y

dx

dy

− 2

3

x

=

y

dx

3

[

2

xy + ]

2

Example 2

3

• แก ้สมการ dy

− 2 x

=

y

f ( x, y) =

dx

3

[

2

xy + 2]

− 2 x − 3

dy =

y dx

3

[ xy 2 + 2]

2

3

y = ∫ − x y dx 3

[ xy 2 + ]

2

Integrate ไม่ได ้

Differential Equation

• Tools ทางคณิตศาสตร์ที่สําคัญสําหรับใช ้ใน

การแก ้ปัญหา Differential Equation

– Laplace Transform (one side/two side)

– Fourier Transform ใช ้ได ้เช่นกัน

– Z-Transform ใช ้สําหรับแก ้ปัญหา Discrete Version ของ Differential Equation

• คือ Differential Equation ที่ได ้จากการสุ่ม

ตัวอย่างของตัวแปร

• กรณีนี้เราเรียก Difference Equation

– ทั้งหมดนี้อยู่ในเนื้อหาวิชา CPE 308

Differential Equation

• บทนี้เราจะมาดู Numerical Method

สําหรับใช ้ในการแก ้สมการ Differential Equation

– เราจะจํากัดอยู่ที่ First Order และ Initial Condition ที่จุดตั้งต ้น

– เป็นสมการของ Ordinary Differential Equation

• One Independent Variable

– สามารถดัดแปลงสําหรับ Higher Order ได ้

– กรณีที่เป็น Boundary Condition จะต ้องใช ้วิธี

อื่น

• ศึกษาเพิ่มเติมได ้จาก Reference

Chapter 10

• Ordinary Differential Equation

ODE

ODE

ODE

ODE: One Step Method

y

y 4

3

y 1

y

y

2

0

x

h

0

x

x

x

x

x

0

1

2

3

4

ODE: One Step Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Heun and Polygon Method

Heun Method

Heun Method

Heun Method

Heun and Polygon Method

Heun Method

Heun and Polygon Method

Heun Method

Heun Method

Improved Polygon Method

Improved Polygon Method

Runge-Kutta Method

Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta

Method

Second Order Runge-Kutta

Method

Second Order Runge-Kutta

Method

Second Order Runge-Kutta

Method

Second Order Runge-Kutta

Method

Second Order Runge-Kutta

Method

Second Order Runge-Kutta

Method

Second Order Runge-Kutta

Method

Second Order Runge-Kutta

Method

Third Order Runge-Kutta

Method

Third Order Runge-Kutta

Method

Forth Order Runge-Kutta

Method

Forth Order Runge-Kutta

Method

Higher Order Runge-Kutta

Method

Comparison

Chapter 12 Homework (HW 11)

Download HW 11(ODE)และทําใน

Sheet

Option ถ้าใครส่งครบ 10 ครั้งและได้เต็ม

ไม่ต้องส่ง

จะนับ 10 HW ที่คะแนนมากที่สุด

ส่งพุธที่ 4 พ.ค. ที่ห้องภาค 5-310 ก่อน

เที่ยง

ไม่มีบทที่ 13 Curve Fitting

Course Ends

Final Exam Preparation

สูตรจะให้มา

ข้อสอบมี 7 ข้อ เลือกทํา 5 ข้อ 10x5 =

50 คะแนน เทียบเป็นคะแนนเก็บ 50%

2 ข้อ เป็นเรื่องก่อน Midterm (Part 1

หนึ่งข้อ และ Part 2 หนึ่งข้อ)

5 ข้อเป็นเรื่องใหม่ ด ังน้ี

5 ข้อ เป็นเรื่องใหม่ หล ัง MT ด ังนี้

– 1. Taylor Series และการประมาณค่าของ

Function รวมถึง Error

– 2. Root of Function (Bisection หรือ

Newton)

– 3. Linear Equation 1 ข ้อ

• Gauss Elimination, Gauss Jordan, Gauss Seidel และ LU Decompositon

– 4. Numerical Integration (Trapezoidal หรือ

Simpson)

– 5. ODE โดยใช ้ 4th Order RK

Formulas

ઙ્ગહ્ણહ્વ� MT+ઙ્ઘ�

�����

Document Outline

Table of contents

previous page start